mandelbrot set

六年前我理解过，最近发现忘了，复习一下。
mandelbrot set是这么画的：

• 在复平面上定义一个可以迭代的计算规则，比如“这个数先平方再加上它本身，看看结果是多少？”
  • 这个计算的结果可以理解为一种“特征值”。
• 对复平面上的每个点，不断迭代，看看这个值如何变化。
• 根据每个点的迭代特征进行着色。比如，有些点的特征值可能越来越小，永远不会超过某个常数n。有些点一两次就超过了n。有些点需要多迭代几次……
  • 最后渲染出来的图，颜色其实代表了“迭代多少次”。
    
    像这张图，黑色部分都是“那个值再怎么迭代也不会超过4”（其实只迭代了24次）。
    白色部分是20次左右才超过4。
    灰色部分是比较快就超过4了。

那么问题是，为什么这样定义出来的图是一个分形图呢？
还没研究。直觉是和复平面上旋转拉伸有关系。
例如，如果某个点a运算1次就超过了n，那可以倒推出哪些点运算2次就超过n。这些点一定是经过有规律的旋转和缩放后叠在了点a上。
而遵循同样的“旋转-缩放（比如一直缩小）”规则画出来的图，会是一个分形。